Giải tích Ví dụ

$\ln (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 10

Di chuyển ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Bước 11

Nhân $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12

Nhân ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 12.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 13

Rút gọn $2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 14

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 15

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 16

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (2 y)$

Bước 18

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})} y$

Bước 18.2

Kết hợp $\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})}$ và $y$ .

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

Bước 18.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

Bước 18.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$