Giải tích Ví dụ

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 (x^{2} - 9)}{x^{2} - 4}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 9$ và $g (x) = x^{2} - 4$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} - 4$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 (x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 x^{2} x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 (2 x^{2} x)$ và $2 (- 2 x^{2} x)$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (2 \cdot - 4 x) - 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.1.2

Trừ $2 \cdot 2 x^{2} x$ khỏi $2 \cdot 2 x^{2} x$ .

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 0 + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.1.3

Cộng $2 (2 \cdot - 4 x)$ và $0$ .

$\frac{2 (2 \cdot - 4 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Nhân $2$ với $- 4$ .

$\frac{2 (- 8 x) + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.2.2

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{- 16 x + 2 (- 2 \cdot - 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.2.3

Nhân $- 2$ với $- 9$ .

$\frac{- 16 x + 2 (18 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.2.4

Nhân $18$ với $2$ .

$\frac{- 16 x + 36 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.6.3

Cộng $- 16 x$ và $36 x$ .

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 4.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{20 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Bước 4.7.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{20 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Bước 4.7.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{20 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$