Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 5.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $x^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Bước 9

Giả sử $u = 1 - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 9.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 9.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 9.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Bước 9.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$0 - 2$

Bước 9.1.4

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$- 2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 10.2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 12.2

Nhân $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ với $1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Bước 15.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

Bước 15.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{u^{4}}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

Bước 15.2.4

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$