Giải tích Ví dụ

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x - 3$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{u^{3}}{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.5

Cộng $3$ và $1$ .

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

Bước 3.7

Nhân $\frac{u^{3}}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

Bước 4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

Bước 8

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

Bước 10.2.4

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 3$ .

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$