Giải tích Ví dụ

$- 5 y^{3} - 5 y + y^{2} = 4 x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3} - 5 y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 y^{3} - 5 y + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $- 5$ .

$- 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 y' + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 15 y^{2} y' - 5 y' + 2 y y'$

Bước 2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 15 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x)$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 15 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 8 x$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 15 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 15 y^{2} y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 8 x$

Bước 5.1.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 8 x$

Bước 5.1.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- 5 y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 8 x$

Bước 5.1.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 15 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (- 15 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 8 x$

Bước 5.1.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 15 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (- 15 y^{2} + 2 y - 5) = 8 x$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 15 y^{2} + 2 y - 5) = 8 x$ cho $- 15 y^{2} + 2 y - 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 15 y^{2} + 2 y - 5) = 8 x$ cho $- 15 y^{2} + 2 y - 5$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 2 y - 5)}{- 15 y^{2} + 2 y - 5} = \frac{8 x}{- 15 y^{2} + 2 y - 5}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 15 y^{2} + 2 y - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + 2 y - 5)}{- 15 y^{2} + 2 y - 5} = \frac{8 x}{- 15 y^{2} + 2 y - 5}$

Bước 5.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{8 x}{- 15 y^{2} + 2 y - 5}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{8 x}{- (15 y^{2}) + 2 y - 5}$

Bước 5.2.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{8 x}{- (15 y^{2}) - (- 2 y) - 5}$

Bước 5.2.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (15 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{8 x}{- (15 y^{2} - 2 y) - 5}$

Bước 5.2.3.4

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$y' = \frac{8 x}{- (15 y^{2} - 2 y) - 1 (5)}$

Bước 5.2.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (15 y^{2} - 2 y) - 1 (5)$ .

$y' = \frac{8 x}{- (15 y^{2} - 2 y + 5)}$

Bước 5.2.3.6

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Viết lại $- (15 y^{2} - 2 y + 5)$ ở dạng $- 1 (15 y^{2} - 2 y + 5)$ .

$y' = \frac{8 x}{- 1 (15 y^{2} - 2 y + 5)}$

Bước 5.2.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{8 x}{15 y^{2} - 2 y + 5}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x}{15 y^{2} - 2 y + 5}$