Giải tích Ví dụ

$\sin (x) + e^{- x} + 3 x$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + e^{- x} + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\cos (x) + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\cos (x) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (x) + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\cos (x) + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\cos (x) - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\cos (x) - e^{- x} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3 \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\cos (x) - e^{- x} + 3$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 - e^{- x} + \cos (x)$