Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{x + y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $x + y$ với $1$ .

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + y - x - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.2.2.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.7

Viết lại $- (x y' - y)$ ở dạng $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 3.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với ${(x + y)}^{2}$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ vào tử số.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Bước 5.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

Bước 5.2.1.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

Bước 5.2.1.4

Di chuyển $x$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $- 1 y'$ ở dạng $- y'$ .

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

Bước 5.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Cộng $y' x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Viết lại ${(x + y)}^{2}$ ở dạng $(x + y) (x + y)$ .

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.2

Khai triển $(x + y) (x + y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.3.1.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.3.2

Cộng $x y$ và $y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.3.2.1

Sắp xếp lại $y$ và $x$ .

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.3.2.2

Cộng $x y$ và $x y$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.2.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.6

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

Bước 5.3.3.7

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

Bước 5.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ cho $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ cho $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Bước 5.3.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$