Giải tích Ví dụ

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = y^{2} + x^{2}$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} + x^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Nhân $y^{2} + x^{2}$ với $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2} + x^{2}]}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + \frac{d}{d y} [x^{2}])}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y + 0)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2 y$ và $0$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - y (2 y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y \cdot y}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 4

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y^{2} + x^{2} - 2 y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 7

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$