Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

Bước 1

Viết lại $\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ ở dạng $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ .

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Sau đó $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 + x^{4}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $2 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Bước 3.1.5

Cộng $0$ và $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Bước 4.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , nên $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 + x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$