Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(2 x^{3} + 3 x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2} d x$

Bước 3

Khai triển ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2} x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${(2 x^{3} + 3 x)}^{2}$ ở dạng $(2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\int (2 x^{3} + 3 x) (2 x^{3} + 3 x) x^{- 2} d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3} + 3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3} + 3 x)) x^{- 2} d x$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x) + 3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} (3 x)) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + (3 x (2 x^{3}) + 3 x (3 x)) x^{- 2} d x$

Bước 3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 x^{3} (2 x^{3}) x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Bước 3.8

Di chuyển $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 x^{3} (3 x) x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Bước 3.9

Di chuyển $x^{3}$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 x (2 x^{3}) x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Bước 3.10

Di chuyển $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 x (3 x) x^{- 2} d x$

Bước 3.11

Di chuyển $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.12

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 x^{3} x^{3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{3 + 3} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.14

Cộng $3$ và $3$ .

$\int 4 x^{6} x^{- 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{6 - 2} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.16

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot 3 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.17

Nhân $2$ với $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3} x \cdot x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.18

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 (x^{3} x^{1}) x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{3 + 1} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.20

Cộng $3$ và $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.22

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.23

Nhân $3$ với $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x \cdot x^{3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.24

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 (x^{1} x^{3}) x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.25

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{1 + 3} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.26

Cộng $1$ và $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.27

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{4 - 2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.28

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.29

Nhân $3$ với $3$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 3.30

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Bước 3.31

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Bước 3.32

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Bước 3.33

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2} x^{- 2} d x$

Bước 3.34

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{2 - 2} d x$

Bước 3.35

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 x^{0} d x$

Bước 3.36

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 \cdot 1 d x$

Bước 3.37

Nhân $9$ với $1$ .

$\int 4 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 9 d x$

Bước 3.38

Cộng $6 x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$\int 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int 9 d x$

Bước 7

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int 9 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 9 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 9 x + C$

Bước 10.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 9 x + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

$\frac{4 x^{5}}{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{5} x^{5} + 4 x^{3} + 9 x + C$