Giải tích Ví dụ

${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 6.2

Kết hợp ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 6.3

Di chuyển ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2} + z^{2}]$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Bước 9

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Bước 10

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [z^{2}])$

Bước 11

Vì $z^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $z^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Bước 12.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 12.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$