Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sin (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x)$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 5.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Bước 10.2

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{4} \cos (2 \frac{π}{4})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 (π)}{4})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.3

Kết hợp $\frac{π}{4}$ và $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.4

Viết lại $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}}{2}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.5

Nhân $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{4 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.6

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.7

Nhân $2$ với $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.8

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.10

Cộng $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8}$ và $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

Bước 10.3.11

Để viết $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot \frac{8}{8}$

Bước 10.3.12

Kết hợp $\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ và $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{8} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Bước 10.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 8}{8}$

Bước 10.3.14

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{8}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 10.3.15

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.15.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 10.3.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.15.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 10.3.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 10.3.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + \frac{2}{1} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 10.3.15.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{8}$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{8}$

Bước 11.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Bước 11.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{0 π + 2 (1 - 0)}{8}$

Bước 11.5

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 0)}{8}$

Bước 11.6

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0 + 2 (1 + 0)}{8}$

Bước 11.7

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{8}$

Bước 11.8

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{0 + 2}{8}$

Bước 11.9

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{2}{8}$

Bước 11.10

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Bước 11.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Bước 11.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Bước 11.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{4}$

Dạng thập phân:

$0.25$