Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$

Bước 1

Lấy đạo hàm của $\int_{0}^{\ln (4 x)} \sin (2 e^{t}) d t$ đối với $x$ bằng định lý cơ bản của giải tích và quy tắc chuỗi.

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x] \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1 \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 3.4

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\frac{1}{x} \sin (2 e^{\ln (4 x)})$

Bước 4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{x} \sin (2 (4 x))$

Bước 5

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{x} \sin (8 x)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\sin (8 x)$ .

$\frac{\sin (8 x)}{x}$