Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Bước 3.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Bước 3.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Bước 3.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Bước 3.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Bước 3.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

Bước 6.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Tính $- \frac{u_{2}}{2}$ tại $e^{- t^{2}}$ và tại $\frac{1}{e}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Bước 6.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ ở dạng một tích.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 6.2.2.2

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e$ .

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

Bước 7.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Bước 7.1.3

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Bước 7.2

Vì số mũ $- t^{2}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- t^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

Bước 7.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Tính giới hạn của $\frac{1}{2 e}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

Bước 7.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

Bước 7.3.2.1.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

Bước 7.3.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{2 e}$ .

$4 \frac{1}{2 e}$

Bước 7.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

Bước 7.3.2.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 e$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

Bước 7.3.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

Bước 7.3.2.3.4

Viết lại biểu thức.

$2 \frac{1}{e}$

Bước 7.3.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{e}$

Dạng thập phân:

$0.73575888 \dots$