Giải tích Ví dụ

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Bước 1

Viết ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ ở dạng $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ .

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.2.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.3

Rút gọn $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.4

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.4.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.5

Rút gọn $e^{0}$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 4.3.1.6

Nhân $e^{- x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

Bước 4.3.1.6.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 7

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 9

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 11.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 12.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 15

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 16

Rút gọn.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$