Giải tích Ví dụ

$\frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Bước 1

Viết $\frac{2 \sqrt{x}}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2 \sqrt{x}}{x} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.2.2

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Bước 5.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 5.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 5.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 5.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 \sqrt{x}}{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{1}{2}} + C$