Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x - 6$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x - 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Bước 12.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 12.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 12.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Bước 12.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 6$ .

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$