Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int 5 - 3 \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.1.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\int 5 + \frac{- 3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int 5 - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\int \frac{5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{5 (1 + x^{2}) - 3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{5 \cdot 1 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.4.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\int \frac{5 + 5 x^{2} - 3}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.4.3

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Sắp xếp lại $1$ và $x^{2}$ .

$\int \frac{5 x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Chia $5 x^{2} + 2$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$5$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x^{2} + 0 + 5$

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$5$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$3$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 5 - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 d x + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$5 x + C + \int - \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 x + C - \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$5 x + C - (3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 10.2

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 10.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$5 x + C - 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$5 x + C - 3 (\arctan (x) + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$5 x - 3 \arctan (x) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 - 3 {(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$F (x) =$ $5 x - 3 \arctan (x) + C$