Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{a} 8 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = a^{2} - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = a^{2} - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a^{2} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $a^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Bước 2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $a^{2}$ và $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Bước 2.5

Trừ $a^{2}$ khỏi $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$8 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 8 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 8$ .

$\frac{- 8}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.1.2.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $0$ và tại $a^{2}$ .

$- 4 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.5

Nhân $2$ với $0$ .

$- 4 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- 4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 4 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 10.2.7

Nhân các số mũ trong ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 10.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 10.2.7.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

Bước 10.2.8

Trừ $\frac{2 a^{3}}{3}$ khỏi $0$ .

$- 4 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

Bước 10.2.9

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$4 \frac{2 a^{3}}{3}$

Bước 10.2.10

Kết hợp $4$ và $\frac{2 a^{3}}{3}$ .

$\frac{4 (2 a^{3})}{3}$

Bước 10.2.11

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8}{3} a^{3}$

Bước 12

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và $a^{3}$ .

$\frac{8 a^{3}}{3}$