Giải tích Ví dụ

$1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Bước 1

Viết $1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int \tan^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 6

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 6.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x + C + \int \tan^{2} (u) \cdot 2 d u$

Bước 7.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{2} (u)$ .

$x + C + \int 2 \tan^{2} (u) d u$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 \int \tan^{2} (u) d u$

Bước 9

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$x + C + 2 \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x + C + 2 (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + 2 (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Bước 12

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$x + C + 2 (- u + C + \tan (u) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$x - 2 u + 2 \tan (u) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$x - 2 \frac{x}{2} + 2 \tan (\frac{x}{2}) + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + \tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - 2 (\frac{1}{2}) x + 2 \tan (\frac{1}{2} x) + C$