Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{14}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Bước 1

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 x^{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $25$ ra ngoài $25$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $25$ ra ngoài $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $25$ ra ngoài $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.5

Viết lại $25 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5 \cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $5 \cos (t)$ .

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{\cos (t) \cdot 5} \cos (t) d t$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$14 \int_{- \frac{π}{6}}^{0} \frac{1}{5} d t$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$14 (\frac{1}{5} t]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $t$ .

$14 (\frac{t}{5}]_{- \frac{π}{6}}^{0})$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{t}{5}$ tại $0$ và tại $- \frac{π}{6}$ .

$14 ((\frac{0}{5}) - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$14 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$14 (\frac{0}{1} - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2.1.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$14 (0 - \frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Bước 5.2.2.2

Viết lại $\frac{- \frac{π}{6}}{5}$ ở dạng một tích.

$14 (0 - (- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{5}))$

Bước 5.2.2.3

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{π}{6}$ .

$14 (0 - - \frac{π}{5 \cdot 6})$

Bước 5.2.2.4

Nhân $5$ với $6$ .

$14 (0 - - \frac{π}{30})$

Bước 5.2.2.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$14 (0 + 1 \frac{π}{30})$

Bước 5.2.2.6

Nhân $\frac{π}{30}$ với $1$ .

$14 (0 + \frac{π}{30})$

Bước 5.2.2.7

Cộng $0$ và $\frac{π}{30}$ .

$14 \frac{π}{30}$

Bước 5.2.2.8

Kết hợp $14$ và $\frac{π}{30}$ .

$\frac{14 π}{30}$

Bước 5.2.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $14 π$ .

$\frac{2 (7 π)}{30}$

Bước 5.2.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$\frac{2 (7 π)}{2 (15)}$

Bước 5.2.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (7 π)}{2 \cdot 15}$

Bước 5.2.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7 π}{15}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{7 π}{15}$

Dạng thập phân:

$1.46607657 \dots$

Bước 7