Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{12}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Bước 1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{9 x^{2} - 9}} d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $9 x^{2}$ ở dạng ${(3 x)}^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 9}} d x$

Bước 2.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$12 \int_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2} \frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}} d x$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{x \sqrt{{(3 x)}^{2} - 3^{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)$

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| \frac{3 x}{3} |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Bước 4.1.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$12 (\frac{1}{3} arcsec (| x |)]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Bước 4.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $arcsec (| x |)$ .

$12 (\frac{arcsec (| x |)}{3}]_{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}^{2})$

Bước 4.2

Tính $\frac{arcsec (| x |)}{3}$ tại $2$ và tại $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$12 (\frac{arcsec (| 2 |)}{3} - \frac{arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 \frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$12 \frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $arcsec (2)$ là $\frac{π}{3}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{2 \sqrt{3}}{3} |)}{3}$

Bước 5.2.3

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ xấp xỉ $1.15470053$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$12 \frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})}{3}$

Bước 5.2.4

Giá trị chính xác của $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ là $\frac{π}{6}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.3

Để viết $\frac{π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $\frac{π}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$12 \frac{\frac{π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 \frac{\frac{π \cdot 2 - π}{6}}{3}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$12 \frac{\frac{2 \cdot π - π}{6}}{3}$

Bước 5.6.2

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$12 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$3 (4) \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 4 \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Bước 5.7.3

Viết lại biểu thức.

$4 \frac{π}{6}$

Bước 5.8

Kết hợp $4$ và $\frac{π}{6}$ .

$\frac{4 π}{6}$

Bước 5.9

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 π$ .

$\frac{2 (2 π)}{6}$

Bước 5.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Bước 5.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Bước 5.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 π}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 π}{3}$

Dạng thập phân:

$2.09439510 \dots$

Bước 7