Giải tích Ví dụ

$x y - x^{3} = 2 y^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x y - x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x y' + y - (3 x^{2})$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$x y' + y - 3 x^{2}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 x^{2} + x y' + y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 y^{2} y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 3 x^{2} + x y' + y = 6 y^{2} y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $6 y^{2} y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 x^{2} + x y' + y - 6 y^{2} y' = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $3 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y' + y - 6 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Bước 5.2.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' - 6 y^{2} y' = 3 x^{2} - y$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' - 6 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x - 6 y^{2} y' = 3 x^{2} - y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 6 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x) + y' (- 6 y^{2})$ .

$y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$ cho $x - 6 y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x - 6 y^{2}) = 3 x^{2} - y$ cho $x - 6 y^{2}$ .

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 6 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x - 6 y^{2})}{x - 6 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x - 6 y^{2}} + \frac{- y}{x - 6 y^{2}}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 6 y^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 6 y^{2}}$