Giải tích Ví dụ

$\int 5 {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int {(3 - \cos^{2} (x))}^{- 6} \sin (2 x) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Sau đó $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 - \cos^{2} (x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 - \cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.1.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.1.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.1.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$0 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Cộng $0$ và $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.4.2

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 2.1.4.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.1.4.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$5 \int {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 6}$ đối với $u_{2}$ là $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$5 (- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5} + C)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp ${u_{2}}^{- 5}$ và $\frac{1}{5}$ .

$5 (- \frac{{u_{2}}^{- 5}}{5} + C)$

Bước 4.1.2

Di chuyển ${u_{2}}^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C)$

Bước 4.2

Rút gọn.

$5 (- \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}) + C$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Bước 4.3.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{5 {u_{2}}^{5}}$ .

$\frac{- 5}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 ({u_{2}}^{5})} + C$

Bước 4.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 {u_{2}}^{5}} + C$

Bước 4.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Bước 4.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{{u_{2}}^{5}} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 - \cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{{(3 - \cos^{2} (x))}^{5}} + C$