Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Bước 1

Viết $\frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{2}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x + 3}} d x + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = x + 3$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 3$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 6.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 7.2

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (2 x) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \sin^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 11

Kết hợp $\sin^{2} (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sin^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 13

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{2})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 15.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 16

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 17

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 18

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (2 u_{2}) d u_{2})$

Bước 19

Giả sử $u_{3} = 2 u_{2}$ . Sau đó $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Hãy đặt $u_{3} = 2 u_{2}$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Bước 19.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , nên đạo hàm của $2 u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Bước 19.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 19.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 19.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Bước 20

Kết hợp $\cos (u_{3})$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3})$

Bước 21

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}))$

Bước 22

Tích phân của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sin (u_{3})$ .

$2 (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (u_{2} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C))$

Bước 23

Rút gọn.

$4 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Bước 24

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Bước 24.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{3})) + C$

Bước 24.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 u_{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{2})) + C$

Bước 24.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Bước 25

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Bước 25.1.2

Kết hợp $\sin (4 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{4} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 (2)} (2 (x)) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} (2 x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.3.5

Viết lại biểu thức.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{2} x - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.4

Kết hợp $\frac{- 1}{2}$ và $x$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Bước 25.5

Nhân $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Bước 25.5.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Bước 25.5.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 25.5.4

Nhân $4$ với $2$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Bước 25.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Bước 26

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$

Bước 27

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x + 3}} - \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$