Giải tích Ví dụ

$e^{\frac{- x}{2}}$

Bước 1

Viết $e^{\frac{- x}{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{\frac{- x}{2}} d x$

Bước 4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int e^{- \frac{x}{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = - \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{2} d x$ , nên $- 2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 5.1.2

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\int - e^{u} \cdot 2 d u$

Bước 6.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$- 2 e^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 e^{- \frac{x}{2}} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{\frac{- x}{2}}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- \frac{1}{2} x} + C$