Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} - 6 x^{2} - 9 x - 10}{4 x^{4} - 3 x^{2} + 4 x + 7}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{4}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9 x}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 9 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x^{4}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{x \cdot - 9}{x \cdot x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} + \frac{- 9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} + \frac{- 10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{4}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x^{4}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{9}{x^{3}} - \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $10$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 10

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 10.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 11

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 12

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 13

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{4}}}$

Bước 14

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Bước 15

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.2

Nhân $- 6$ với $0$ .

$\frac{0 + 0 - 9 \cdot 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.3

Nhân $- 9$ với $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.4

Nhân $- 10$ với $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.5

Cộng $0 + 0 + 0$ và $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.6

Cộng $0 + 0$ và $0$ .

$\frac{0 + 0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.1.7

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{4 - 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 4 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 7 \cdot 0}$

Bước 16.2.3

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0 + 0}$

Bước 16.2.4

Cộng $4 + 0 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{4 + 0 + 0}$

Bước 16.2.5

Cộng $4 + 0$ và $0$ .

$\frac{0}{4 + 0}$

Bước 16.2.6

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{0}{4}$

Bước 16.3

Chia $0$ cho $4$ .

$0$