Giải tích Ví dụ

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

Bước 1

Khai triển ${(4 - x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(4 - x^{2})}^{2}$ ở dạng $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Bước 1.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Bước 1.6

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.8

Nhân $4$ với $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.9

Nhân $- 1$ với $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.11

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Bước 1.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Bước 1.13

Cộng $2$ và $2$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

Bước 1.14

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $- 4 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

Bước 1.15

Sắp xếp lại $- 8 x^{2}$ và $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

Bước 1.16

Di chuyển $16$ .

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 5

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 8$ ra khỏi tích phân.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ và $16 x]_{0}^{2}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ tại $2$ và tại $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.2

Nhân $16$ với $2$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.3

Để viết $32$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.4

Kết hợp $32$ và $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.6.1

Nhân $32$ với $5$ .

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.6.2

Cộng $32$ và $160$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.7

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.8.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.9

Nhân $16$ với $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.10

Cộng $0$ và $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.12

Cộng $\frac{192}{5}$ và $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 9.2.3.14

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Bước 9.2.3.15

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Bước 9.2.3.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 9.2.3.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Bước 9.2.3.15.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

Bước 9.2.3.16

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

Bước 9.2.3.17

Cộng $\frac{8}{3}$ và $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

Bước 9.2.3.18

Kết hợp $- 8$ và $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

Bước 9.2.3.19

Nhân $- 8$ với $8$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

Bước 9.2.3.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

Bước 9.2.3.21

Để viết $\frac{192}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

Bước 9.2.3.22

Để viết $- \frac{64}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 9.2.3.23

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.23.1

Nhân $\frac{192}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 9.2.3.23.2

Nhân $5$ với $3$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 9.2.3.23.3

Nhân $\frac{64}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Bước 9.2.3.23.4

Nhân $3$ với $5$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

Bước 9.2.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

Bước 9.2.3.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.25.1

Nhân $192$ với $3$ .

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

Bước 9.2.3.25.2

Nhân $- 64$ với $5$ .

$π \frac{576 - 320}{15}$

Bước 9.2.3.25.3

Trừ $320$ khỏi $576$ .

$π \frac{256}{15}$

Bước 9.2.3.26

Kết hợp $π$ và $\frac{256}{15}$ .

$\frac{π \cdot 256}{15}$

Bước 9.2.3.27

Di chuyển $256$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{256 π}{15}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{256 π}{15}$

Dạng thập phân:

$53.61651462 \dots$

Bước 11