Giải tích Ví dụ

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(1 + \sin (x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Bước 4

Khai triển ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(1 + \sin (x))}^{2}$ ở dạng $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 4.6

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 4.7

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 4.8

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 4.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Bước 4.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Bước 4.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Bước 4.13

Cộng $\sin (x)$ và $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 8

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 9

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 11

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Bước 14

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 14.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 14.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 15

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 17

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 18

Rút gọn.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 19

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 20.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 20.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 20.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 20.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 21

Sắp xếp lại các số hạng.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 22

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$