Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{12 - x^{2}}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Bước 2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - x^{2}}}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $12$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\sqrt{3}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\sqrt{3}$ cho $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\sqrt{3}$ cho $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3^{1}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.1.5

Tính số mũ.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Bước 8.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Bước 8.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Bước 8.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{1}}}$

Bước 8.2.1.5

Tính số mũ.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 1 \cdot 3}}$

Bước 8.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3}}$

Bước 8.2.3

Trừ $3$ khỏi $12$ .

$\frac{3}{\sqrt{9}}$

Bước 8.2.4

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 8.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{3}{3}$

Bước 8.3

Chia $3$ cho $3$ .

$1$