Giải tích Ví dụ

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

Bước 1

Nhân các số mũ trong ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 9}]$

Bước 1.2

Nhân $5$ với $9$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{45} (x^{3} + 7)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{45}$ và $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{45}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 45$ .

$45 {u_{1}}^{44} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x^{3} + 7)$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{3} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3} + 7$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Bước 4.3

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0)$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$45 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2})$

Bước 4.4.2

Nhân $3$ với $45$ .

$135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$

Bước 4.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $135 \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$