Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\tan (2 x)}{1 - \cot (2 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \tan (2 x)$ và $g (x) = 1 - \cot (2 x)$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x)) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [1 - \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cot (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) \frac{d}{d x} [- \cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot (2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) - \tan (2 x) (- \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.8

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + 1 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $\tan (2 x)$ với $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 (1 - \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cot (2 x))) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) + 2 (- \cot (2 x)) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6.3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x) - 2 \cot (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \tan (2 x) \csc^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 \sec^{2} (2 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}{{(1 - \cot (2 x))}^{2}}$