Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{3 \cdot (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.6

Nhân $3$ với $2$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Cộng $6 x^{2}$ và $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3.8.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{3} x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 (x^{2} x^{3})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{2 + 3}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Cộng $2$ và $3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Kết hợp $3$ và $\frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 ((3 (2 x^{3}) + 3 \cdot - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.1.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{3 (3 (2 (x^{2} x^{3}))) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 (3 (2 x^{2 + 3})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.1.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{5})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 (6 x^{5}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.3

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.5

Nhân $- 3$ với $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.1.6

Nhân $- 6$ với $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.4.2.1

Trừ $18 x^{5}$ khỏi $18 x^{5}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 0}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.4.2.2

Cộng $- 9 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 3.6.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$