Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} - 1$ , $y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Giải $x^{2} - 1 = \frac{3}{x^{2} + 1}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 1.2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1, x^{2} + 1, 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2.2.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{2} + 1 + y = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2.3

Nhân mỗi số hạng trong $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ với $x^{2} + 1$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} + 1$ với $x^{2} + 1$ .

$x^{2} (x^{2} + 1) = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.2.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{4} + x^{2} = \frac{3}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x^{4} + x^{2} = 3 + 1 (x^{2} + 1)$

Bước 1.2.3.3.1.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$x^{4} + x^{2} = 3 + x^{2} + 1$

Bước 1.2.3.3.2

Cộng $3$ và $1$ .

$x^{4} + x^{2} = x^{2} + 4$

Bước 1.2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{4} + x^{2} - x^{2} = 4$

Bước 1.2.4.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{4} + x^{2} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$x^{4} + 0 = 4$

Bước 1.2.4.1.2.2

Cộng $x^{4}$ và $0$ .

$x^{4} = 4$

Bước 1.2.4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{4}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Bước 1.2.4.3.2

Viết lại $\sqrt[4]{2^{2}}$ ở dạng $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 1.2.4.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \sqrt{2}$

Bước 1.2.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2}$

Bước 1.2.4.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2}$

Bước 1.2.4.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $\sqrt{2}$ bằng $x$ .

$y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$

Bước 1.3.2

Thế $\sqrt{2}$ vào $x$ trong $y = \frac{3}{{(\sqrt{2})}^{2} + 1}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $\frac{3}{{\sqrt{2}}^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3}{2^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3}{2^{1} + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.1.5

Tính số mũ.

$y = \frac{3}{2 + 1}$

Bước 1.3.2.2.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{3}{3}$

Bước 1.3.2.2.2

Chia $3$ cho $3$ .

$y = 1$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

$(\sqrt{2}, 1)$

$(- \sqrt{2}, 1)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} - 1 d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- \sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - (x^{2} - 1) d x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} - - 1$

Bước 3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} + 1 d x$

Bước 3.3

Để viết $- x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} - x^{2} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $- x^{2}$ và $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3 - x^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 - x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.5.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{3 - (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 - x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.5.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2} \cdot 1}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 - x^{4} - x^{2}}{x^{2} + 1} + 1$

Bước 3.5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + 1 d x$

Bước 3.6

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3}{x^{2} + 1} + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} - x^{2} + 3 + x^{2} + 1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 0 + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.2

Cộng $- x^{4}$ và $0$ .

$\frac{- x^{4} + 3 + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.3

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{- x^{4} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.5

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{- {(x^{2})}^{2} + 2^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.6

Sắp xếp lại $- {(x^{2})}^{2}$ và $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7.7

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2$ và $b = x^{2}$ .

$\frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{(2 + x^{2}) (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 (2 - x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} (2 - x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 (- x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} + x^{2} (- x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.11.2

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 \cdot x^{2} - 1 \cdot x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.11.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 2 \cdot - 1 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.11.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 1 x^{2} x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.12

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - (x^{2} x^{2})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{2 + 2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.14

Cộng $2$ và $2$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - 2 x^{2} + 2 x^{2} - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.15

Cộng $- 2 x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 + 0 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.16

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Trừ $x^{4}$ khỏi $0$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{4 - x^{4}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.16.2

Sắp xếp lại $4$ và $- x^{4}$ .

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{- x^{4} + 4}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.17

Chia $- x^{4} + 4$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 3.17.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 3.17.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Bước 3.17.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x^{4} + 0 - x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Bước 3.17.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Bước 3.17.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 3.17.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 3.17.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Bước 3.17.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + 1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

Bước 3.17.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0$

$1$

$3$

Bước 3.17.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} + 1 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.18

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.19

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.20

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.21

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.22

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.23

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 3.24

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.24.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 3.24.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 3.25

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Bước 3.26

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.1.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $\sqrt{2}$ và tại $- \sqrt{2}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Bước 3.26.1.2

Tính $x$ tại $\sqrt{2}$ và tại $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (x)]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Bước 3.26.1.3

Tính $\arctan (x)$ tại $\sqrt{2}$ và tại $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.1.4.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\sqrt{2})$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.10

Nhân $\frac{\sqrt{8}}{3}$ với $1$ .

$- (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3}) + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.12

Cộng $\sqrt{8}$ và $\sqrt{8}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.13

Cộng $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 2 \sqrt{2} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$

Bước 3.26.1.4.14

Để viết $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot \frac{3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.1.4.15

Kết hợp $3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{8}}{3} + \frac{3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.1.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 3 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2})) \cdot 3}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.1.4.17

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{8} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4 (2)} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.2.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{- 2 (2 \sqrt{2}) + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.2.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - \arctan (- \sqrt{2}))}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.26.3.1

Tính $\arctan (- \sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) - - 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.2

Nhân $- 1$ với $- 0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (\arctan (\sqrt{2}) + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.3

Tính $\arctan (\sqrt{2})$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 (0.95531661 + 0.95531661)}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.4

Cộng $0.95531661$ và $0.95531661$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 9 \cdot 1.91063323}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.5

Nhân $9$ với $1.91063323$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 17.19569912}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.6

Cộng $- 4 \sqrt{2}$ và $17.19569912$ .

$\frac{11.53884487}{3} + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.7

Chia $11.53884487$ cho $3$ .

$3.84628162 + 2 \sqrt{2}$

Bước 3.26.3.8

Cộng $3.84628162$ và $2 \sqrt{2}$ .

$6.67470875$

Bước 4