Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Bước 4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \sin (\frac{x}{5}) d x + \int \cos (2 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{5} d x$ , nên $5 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{5}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Bước 5.1.2

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{5}} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{5}$ .

$5 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 5) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Bước 6.2

Nhân $5$ với $1$ .

$5 \int \sin (u_{1}) \cdot 5 d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Bước 6.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sin (u_{1})$ .

$5 \int 5 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Bước 7

Vì $5$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 (5 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int \cos (2 x) d x$

Bước 8

Nhân $5$ với $5$ .

$25 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Bước 9

Tích phân của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \cos (u_{1})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$25 (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$- 25 \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{5}$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- 25 \cos (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 \sin (\frac{x}{5}) + \cos (2 x)$ .

$F (x) =$ $- 25 \cos (\frac{1}{5} x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$