Giải tích Ví dụ

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 0$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Bước 3

Tính $f (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $θ$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Bước 3.2

Rút gọn $\sin ((0) + \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

Bước 3.2.2

Cộng $0$ và $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3})$

Bước 3.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sin (θ)$ và $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $θ + \frac{π}{3}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $θ + \frac{π}{3}$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Bước 4.1.2.3

Vì $\frac{π}{3}$ là hằng số đối với $θ$ , đạo hàm của $\frac{π}{3}$ đối với $θ$ là $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $\cos (θ + \frac{π}{3})$ với $1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

Bước 4.2

Thay thế biến $θ$ bằng $0$ trong biểu thức.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $0$ và $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $0$ khỏi $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

Bước 7