Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{\ln (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.2.2

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $x$ .

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Bước 1.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Bước 2.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (x) - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cộng $\frac{1}{x}$ và $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.4.2.2

Kết hợp $\ln^{2} (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.5

Nhân $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Bước 2.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Kết hợp.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.6.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.9

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.2

Kết hợp $\frac{\ln (x)}{x}$ và $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.3.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.4

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.5.2

Chia $2 \ln (x)$ cho $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.10.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.1

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11.2.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11.2.3

Nhân $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.2.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11.2.3.2

Nhân $\ln (x^{2})$ với $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Bước 2.11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$