Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{4} x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{4} - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{4} x^{- 2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{4} x^{- 2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$\frac{3}{4} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{- 6}{4}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và $x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{2 x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.3.5.2.4

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - (3 x^{2})$

Bước 1.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{2 x^{3}} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{3}{2 x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{2 x^{3}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Bước 2.4.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Bước 2.4.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Bước 2.4.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Bước 2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{2 - 6})$

Bước 2.4.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$6 x^{2} - 6 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4})$

Bước 2.4.8

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$6 x^{2} - 6 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4}$

Bước 2.4.9

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4}$

Bước 2.4.10

Nhân $3$ với $3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} x^{- 4}$

Bước 2.4.11

Kết hợp $\frac{9}{2}$ và $x^{- 4}$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{9 x^{- 4}}{2}$

Bước 2.4.12

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.3.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$12 x - 6 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $\frac{9}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{9}{2 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 3.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 3.4.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 3.4.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 3.4.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 3.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 3.4.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$12 x - 6 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Bước 3.4.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Bước 3.4.9

Nhân $- 4$ với $9$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Bước 3.4.10

Kết hợp $\frac{- 36}{2}$ và $x^{- 5}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Bước 3.4.11

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 6 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Bước 3.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 36$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 36$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Bước 3.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Bước 3.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 x - 6 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Bước 3.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 x - 6 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Bước 3.4.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 x - 6 - \frac{18}{x^{5}}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 6$