Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 3.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 3.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 3.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 3.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Đưa $\sin^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$4 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$4 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Bước 12.2

Rút gọn.

$4 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (u_{1})$ .

$4 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Bước 14.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 4 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Bước 14.4

Kết hợp $4$ và $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$