Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Bước 1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Sau đó $d u = - \frac{4}{5} d x$ , nên $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $20 - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Bước 2.1.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Bước 2.1.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Bước 2.1.3

Vì $\frac{4}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 (5 - x)}{5}$ đối với $x$ là $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Bước 2.1.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.1.5

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.1.6

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.1.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Bước 2.1.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Bước 2.1.9.2

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Bước 2.1.9.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.9.3.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Bước 2.1.9.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{5}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $20 - 4 \cdot 0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại $20$ ở dạng $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Bước 2.3.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Bước 2.3.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Bước 2.3.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Bước 2.3.1.5

Đưa $5$ ra ngoài $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Bước 2.3.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Bước 2.3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Bước 2.3.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Bước 2.3.1.6.4

Chia $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ cho $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Bước 2.3.2

Viết lại $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ ở dạng $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Bước 2.3.3

Nhân $0$ với $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Bước 2.3.4

Cộng $- 4$ và $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $20 - 4 \cdot 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Viết lại $20$ ở dạng $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Bước 2.5.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Bước 2.5.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Bước 2.5.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Bước 2.5.1.5

Đưa $5$ ra ngoài $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Bước 2.5.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Bước 2.5.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Bước 2.5.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Bước 2.5.1.6.4

Chia $- 1 (4 - 4)$ cho $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Bước 2.5.2

Viết lại $- 1 (4 - 4)$ ở dạng $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Bước 2.5.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Bước 2.5.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Bước 3.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Bước 3.3

Nhân $\frac{5}{4}$ với $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{5}{4}$ và $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Bước 5

Vì $\frac{5}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{4}$ ra khỏi tích phân.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $π$ và $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $0$ và tại $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Bước 8.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Bước 8.2.4

Nhân $64$ với $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Bước 8.2.5

Kết hợp $- 64$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Bước 8.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Bước 8.2.7

Trừ $\frac{64}{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Bước 8.2.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Bước 8.2.9

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Bước 8.2.10

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Bước 8.2.11

Nhân $64$ với $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Bước 8.2.12

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Bước 8.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $320$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Bước 8.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Bước 8.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Bước 8.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{80 π}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{80 π}{3}$

Dạng thập phân:

$83.77580409 \dots$

Bước 10