Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.1.2

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.1.3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.1.4

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.3.1.3

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.2.3.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.3.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 1.3.5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Bước 1.3.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Bước 1.3.6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

Bước 1.3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

Bước 1.3.7.1.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

Bước 1.3.7.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Bước 1.3.7.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Bước 1.3.7.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.7.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 e^{x} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.5

Cộng $3 e^{x}$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (1 - x) - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.7

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.8

Kết hợp $\frac{1}{1 - x}$ và $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.7.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Bước 3.8

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

Bước 3.8.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.1

Để viết $- 3 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

Bước 3.9.1.2

Kết hợp $- 3 x^{2}$ và $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Bước 3.9.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Bước 3.9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ và $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ và $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 11

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Bước 12

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 13

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 14

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 15

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 16

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 17

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 18

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Bước 19

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Bước 19.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Bước 19.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Bước 19.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20.1.2

Nhân $e^{0}$ với $1$ .

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20.2.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Bước 20.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Bước 20.2.4

Nhân $0$ với $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Bước 20.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1}$

Bước 20.2.6

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Bước 20.3

Chia $1$ cho $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Bước 20.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3$