Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 8 x + x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

Bước 1

Cộng $- 8 x$ và $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 7 x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 7 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Bước 3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 3.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 3.6

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 7.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Bước 9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Bước 10

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{4}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $- 7$ với $0$ .

$\frac{2 + 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{2 + 0 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11.1.3

Cộng $2 + 0$ và $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11.1.4

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{2}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$\frac{2}{4 + 0 - 2 \cdot 0}$

Bước 11.2.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{2}{4 + 0 + 0}$

Bước 11.2.3

Cộng $4 + 0$ và $0$ .

$\frac{2}{4 + 0}$

Bước 11.2.4

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{2}{4}$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 11.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$