Giải tích Ví dụ

$\int {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{4} + 4$ . Sau đó $d u = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{4} + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{4} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$4 x^{3}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 4$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$