Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 5 \cos (4 x - 2) + 5 x d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Bước 4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x - 2$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int 5 x d x$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{4}$ .

$5 \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int 5 x d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u) + \int 5 x d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $5$ .

$\frac{5}{4} \int \cos (u) d u + \int 5 x d x$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + \int 5 x d x$

Bước 10

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 \int x d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{5}{4} \sin (u) + 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} \sin (u) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 2$ .

$\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$