Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 1.3

Trừ $0$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 1$ với $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Bước 1.5.2

Trừ $0.5$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Bước 2

Nhân $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3.2

Nhân $u$ với $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3.3

Nhân $u$ với $u^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $u$ với $u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3.3.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Bước 3.5

Viết lại $- 1 u^{3}$ ở dạng $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{1}{5} u^{5}$ tại $0.5$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Bước 9.2

Tính $\frac{u^{4}}{4}$ tại $0.5$ và tại $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.6

Trừ $1$ khỏi $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.8

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 9.3.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 9.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Bước 9.3.11

Trừ $1$ khỏi $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Bước 9.3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Bước 9.3.13

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Bước 9.3.14

Nhân $\frac{0.9375}{4}$ với $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Bước 9.3.15

Để viết $- \frac{0.96875}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Bước 9.3.16

Để viết $\frac{0.9375}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.17

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $20$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.17.1

Nhân $\frac{0.96875}{5}$ với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.17.2

Nhân $5$ với $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 9.3.17.3

Nhân $\frac{0.9375}{4}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Bước 9.3.17.4

Nhân $4$ với $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Bước 9.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Bước 9.3.19

Nhân $- 0.96875$ với $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Bước 9.3.20

Nhân $0.9375$ với $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Bước 9.3.21

Cộng $- 3.875$ và $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Bước 10

Chia $0.8125$ cho $20$ .

$0.040625$

Bước 11