Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{3} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 7.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 7.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 7.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 7.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} x^{4} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$