Giải tích Ví dụ

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 2 + \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 2 + \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Bước 4.1.4

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Bước 7

Viết lại $- u^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$