Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.3

Viết lại $\cos^{6} (t)$ ở dạng ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$