Giải tích Ví dụ

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Bước 1

Viết $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x^{3} + 1$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$