Giải tích Ví dụ

$y^{x y}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $y^{x y}$ ở dạng $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (y^{x y})$ bằng cách di chuyển $x y$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x y \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Bước 3

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y \ln (y)$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 5

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Bước 6.4

Nhân $\ln (y)$ với $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Bước 7.3

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$